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函數(shù)知識(shí)點(diǎn)
在學(xué)習(xí)中，大家都背過(guò)不少知識(shí)點(diǎn)，肯定對(duì)知識(shí)點(diǎn)非常熟悉吧！知識(shí)點(diǎn)也不一定都是文字，數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)除了定義，同樣重要的公式也可以理解為知識(shí)點(diǎn)。哪些才是我們真正需要的知識(shí)點(diǎn)呢？以下是小編收集整理的函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1
一次函數(shù)的解析式
①點(diǎn)斜式：y-y1=k(x-x1)(k為直線斜率，(x1，y1)為該直線所過(guò)的一個(gè)點(diǎn));
②兩點(diǎn)式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直線上(x1,y1)與(x2,y2)兩點(diǎn))，
③截距式：x/a+y/b=1 (a、b分別為直線在x、y軸上的截距)。
解析式表達(dá)的局限性：
①所需條件較多(2個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槭褂么ㄏ禂?shù)法需要列一個(gè)二元一次方程組);
③不能表達(dá)沒(méi)有斜率的直線(即垂直于x軸的直線;注意沒(méi)有斜率的直線平行于y軸表述不準(zhǔn)，因?yàn)閤=0與y軸重合);
④不能表達(dá)平行于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線。
x軸的正半軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線所成的角(直線與x軸正方向所成的'角)稱為直線的傾斜角。設(shè)一直線的傾斜角為，則該直線的斜率k=tan。傾斜角的范圍為(0, )。
只要這樣踏踏實(shí)實(shí)完成每天的計(jì)劃和小目標(biāo)，就可以自如地應(yīng)對(duì)新學(xué)習(xí)，達(dá)到長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)2
特殊角的三角函數(shù)
角度a 0 30 45 60 90 120 180
1.sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 0
2.cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 -1
3.tana 0 3/3 1 3 無(wú)限大 -3 0
4.cota / 3 1 3/3 0 -3/3 /
函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)有
正弦函數(shù) sin=y/r
余弦函數(shù) cos=x/r
正切函數(shù) tan=y/x
余切函數(shù) cot=x/y
正割函數(shù) sec=r/x
余割函數(shù) csc=r/y
正弦(sin):角的對(duì)邊比上斜邊
余弦(cos):角的'鄰邊比上斜邊
正切(tan):角的對(duì)邊比上鄰邊
余切(cot):角的鄰邊比上對(duì)邊
正割(sec):角的斜邊比上鄰邊
余割(csc):角的斜邊比上對(duì)邊
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)3
1. 函數(shù)的奇偶性
(1)若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則 f(0)=0(可用于求參數(shù));
(3)判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性;
(5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性;
2. 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題
(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知 的定義域?yàn)閇a，b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b],求 f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的`原則。
(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定;
3.函數(shù)圖像(或方程曲線的對(duì)稱性)
(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上;
(2)證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然;
(3)曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函數(shù)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;
(6)函數(shù)y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱;
4.函數(shù)的周期性
(1)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù);
(2)若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數(shù);
(3)若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數(shù);
(4)若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則f(x)是周期為2 的周期函數(shù);
(5)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù);
(6)y=f(x)對(duì)x∈R時(shí)，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù);
5.
方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);
6.
a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.
(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);
(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);
(3) l og a b的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶;
(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N
8. 判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：
(1)A中元素必須都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。
10.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：
(1)定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);
(2)奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù);
(3)定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);
(4)周期函數(shù)不存在反函數(shù);
(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性;
(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合;二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向;二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系;
12. 依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問(wèn)題
13. 恒成立問(wèn)題的處理方法：(1)分離參數(shù)法;(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)4
一.定義
1.全等形：形狀大小相同，能完全重合的兩個(gè)圖形.
2.全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形.
二.重點(diǎn)
1.平移，翻折，旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.
2.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
3.全等三角形的判定：
SSS三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等[邊邊邊]
SAS兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等[邊角邊]
ASA兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等[角邊角]
AAS兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊開(kāi)業(yè)相等的兩個(gè)三角形全等[邊角邊]
HL斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等[斜邊，直角邊]
4.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的.距離相等.
5.角平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)5
I、定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下，IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越小，IaI越小開(kāi)口就越大、)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II、二次函數(shù)的'三種表達(dá)式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]
交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III、二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV、拋物線的性質(zhì)
1、拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線
x=-b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)
2、拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3、二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。
4、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。
5、常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)6
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中1，且*.
當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).此時(shí)，的次方根用符號(hào)表示.式子叫做根式(radical)，這里叫做根指數(shù)(radicalexponent)，叫做被開(kāi)方數(shù)(radicand).
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).此時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用符號(hào)-表示.正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成(0).由此可得：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作。
注意：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：
0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義
指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.
3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.
注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.
2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a1
圖象特征
函數(shù)性質(zhì)
向x、y軸正負(fù)方向無(wú)限延伸
函數(shù)的定義域?yàn)镽
圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱
非奇非偶函數(shù)
函數(shù)圖象都在x軸上方
函數(shù)的值域?yàn)镽+
函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0，1)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數(shù)
減函數(shù)
在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1
在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1
在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1
在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1
圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越陡
圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩
函數(shù)值開(kāi)始增長(zhǎng)較慢，到了某一值后增長(zhǎng)速度極快;
函數(shù)值開(kāi)始減小極快，到了某一值后減小速度較慢;
注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上，值域是或;
(2)若，則;取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);
(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有;
(4)當(dāng)時(shí)，若，則;
二、對(duì)數(shù)函數(shù)
(一)對(duì)數(shù)
1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：(底數(shù)，真數(shù)，對(duì)數(shù)式)
說(shuō)明：1注意底數(shù)的限制，且;
2;
3注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式.
兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：
1常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù);
2自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的`對(duì)數(shù).
對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化
對(duì)數(shù)式指數(shù)式
對(duì)數(shù)底數(shù)冪底數(shù)
對(duì)數(shù)指數(shù)
真數(shù)冪
(二)對(duì)數(shù)函數(shù)
1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+).
注意：1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。
如：，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).
2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且.
2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：
a1
圖象特征
函數(shù)性質(zhì)
函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)
函數(shù)的定義域?yàn)?0，+)
圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱
非奇非偶函數(shù)
向y軸正負(fù)方向無(wú)限延伸
函數(shù)的值域?yàn)镽
函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1，0)
自左向右看，
圖象逐漸上升
自左向右看，
圖象逐漸下降
增函數(shù)
減函數(shù)
第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0
第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0
第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0
第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0
(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0，+)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1);
(2)時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸.
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)7
高一數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納
1、函數(shù)：設(shè)A、B為非空集合，如果按照某個(gè)特定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，寫(xiě)作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函數(shù)的值域。
2、函數(shù)定義域的解題思路：
⑴若x處于分母位置，則分母x不能為0。
⑵偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于0。
⑶對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于0。
⑷指數(shù)對(duì)數(shù)式的底，不得為1，且必須大于0。
⑸指數(shù)為0時(shí)，底數(shù)不得為0。
⑹如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個(gè)部分都有意義的x值組成的集合。
⑺實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義。
3、相同函數(shù)
⑴表達(dá)式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。
⑵定義域一致，對(duì)應(yīng)法則一致。
4、函數(shù)值域的求法
⑴觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡(jiǎn)單的由初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算得到的函數(shù)。
⑵圖像法：適用于易于畫(huà)出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。
⑶配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成y=(x-a)2+b的形式。
⑷代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測(cè)未知函數(shù)的值域。
5、函數(shù)圖像的變換
⑴平移變換：在x軸上的變換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進(jìn)行加減。
⑵伸縮變換：在x前加上系數(shù)。
⑶對(duì)稱變換：高中階段不作要求。
6、映射：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的映射。
⑴集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的`。
⑵集合A中的不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)。
⑶不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
7、分段函數(shù)
⑴在定義域的不同部分上有不同的解析式表達(dá)式。
⑵各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。
⑶分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。
8、復(fù)合函數(shù)：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),則，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
高一數(shù)學(xué)函數(shù)的性質(zhì)
1、函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)應(yīng)定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2，當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。
⑴函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路
ⅰ在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2∈D，且x1< x2。
ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并進(jìn)行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾?fù)的形式。
ⅲ判斷變形后的表達(dá)式f(x1)-f(x2)的符號(hào)，指出單調(diào)性。
⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律為“同增異減”;多個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。
⑶注意事項(xiàng)
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為A∪B。
2、函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性
對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就為偶函數(shù);
對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。
⑴奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)
ⅰ無(wú)論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
ⅱ奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。
⑵函數(shù)奇偶性判斷思路
ⅰ先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù)。
ⅱ確定f(x)和f(-x)的關(guān)系：
若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù);
若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。
3、函數(shù)的最值問(wèn)題
⑴對(duì)于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。
⑵對(duì)于易于畫(huà)出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫(huà)出圖像，從圖像中觀察最值。
⑶關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題
ⅰ判斷二次函數(shù)的頂點(diǎn)是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接ⅱ，若不在區(qū)間內(nèi)，則接ⅲ。
ⅱ若二次函數(shù)的頂點(diǎn)在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時(shí)，頂點(diǎn)為最小值，a<0時(shí)頂點(diǎn)為最大值;后判斷區(qū)間的兩端點(diǎn)距離頂點(diǎn)的遠(yuǎn)近，離頂點(diǎn)遠(yuǎn)的端點(diǎn)的函數(shù)值，即為a>0時(shí)的最大值或a<0時(shí)的最小值。
ⅲ若二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性
若函數(shù)在[a，b]上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b);
若函數(shù)在[a，b]上遞減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。
高中
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)8
二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中最精彩的內(nèi)容之一，也是歷年中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。其中，關(guān)于函數(shù)解析式的確定是非常重要的題型。隨著中考面臨新課程改革，教材的內(nèi)容和學(xué)習(xí)要求變化較大，其中一個(gè)突出的變化就是強(qiáng)化了對(duì)圖形變換的要求，那么二次函數(shù)和圖形變化的結(jié)合，將是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中不可忽視的內(nèi)容。
圖形變換包含平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似四種變換，那么二次函數(shù)的圖像在其圖形變化(平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))的過(guò)程中，如何完成解析式的確定呢？解決此類問(wèn)題的方法很多，關(guān)鍵在于解決問(wèn)題的著眼點(diǎn)。筆者認(rèn)為最好的方法是用頂點(diǎn)式的方法。因此解題時(shí)，先將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)具體圖形變換的特點(diǎn)，確定變化后新的頂點(diǎn)坐標(biāo)及a值。
1、平移：二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)平移變換不會(huì)改變圖形的形狀和開(kāi)口方向，因此a值不變。頂點(diǎn)位置將會(huì)隨著整個(gè)圖像的平移而變化，因此只要按照點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可確定其解析式。
例1.將二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到的新的圖像解析式為_(kāi)____
分析：將y=x2-2x-3化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-1)2-4，a值為1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，將其圖像向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，那么頂點(diǎn)也會(huì)相應(yīng)移動(dòng)，其坐標(biāo)為(2，-2),由于平移不改變二次函數(shù)的圖像的形狀和開(kāi)口方向，因此a值不變，故平移后的解析式為y=(x-2)2-2。
2、軸對(duì)稱：此圖形變換包括x軸對(duì)稱和關(guān)于y軸對(duì)稱兩種方式。
二次函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像，其形狀不變，但開(kāi)口方向相反，因此a值為原來(lái)的相反數(shù)。頂點(diǎn)位置改變，只要根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的.坐標(biāo)特征求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定其解析式。
二次函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，其形狀和開(kāi)口方向都不變，因此a值不變。但是頂點(diǎn)位置會(huì)改變，只要根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定其解析式。
例2.求拋物線y=x2-2x-3關(guān)于x軸以及y軸對(duì)稱的拋物線的解析式。
分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值為1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，若關(guān)于x軸對(duì)稱，a值為-1，新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，故解析式為y=-(x-1)2+4；若關(guān)于y軸對(duì)稱，a值仍為1，新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-4)，因此解析式為y=(x+1)2-4。
3、旋轉(zhuǎn)：主要是指以二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為180°的圖像變換，此類旋轉(zhuǎn)，不會(huì)改變二次函數(shù)的圖像形狀，開(kāi)口方向相反，因此a值會(huì)為原來(lái)的相反數(shù)，但頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，故很容易求其解析式。
例3.將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則所得的拋物線的函數(shù)解析式為_(kāi)_______
分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值為1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，拋物線繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，a值為-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，故解析式為y=-(x-1)2+2。
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)9
一、變量與函數(shù)
[變量和常量]
在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量，我們稱之為變量，而數(shù)值始終保持不變的量，我們稱之為常量。
[函數(shù)]
一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量 與 ，并且對(duì)于 的每一個(gè)確定的值， 都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō) 是自變量， 是 的函數(shù)。如果當(dāng) 時(shí) ，那么 叫做當(dāng)自變量的值為 時(shí)的函數(shù)值。
[自變量取值范圍的確定方法]
1、 自變量的取值范圍必須使解析式有意義。
當(dāng)解析式為整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù);當(dāng)解析式為分?jǐn)?shù)形式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實(shí)數(shù);當(dāng)解析式中含有二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開(kāi)方數(shù)大于等于0的所有實(shí)數(shù)。
2、自變量的取值范圍必須使實(shí)際問(wèn)題有意義。
[函數(shù)的圖像]
一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.
[描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖形的一般步驟]
第一步：列表(表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值);
第二步：描點(diǎn)(在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn));
第三步：連線(按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái))。
[函數(shù)的表示方法]
列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。
解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。
圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。
[正比例函數(shù)]
一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)(proportional function)，其中k叫做比例系數(shù).
[正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)]
一般地，正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和(1，k)的直線.我們稱它為直線y=kx.當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大;當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.
(1) 解析式：y=kx(k是常數(shù)，k≠0)
(2) 必過(guò)點(diǎn)：(0，0)、(1，k)
(3) 走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限;k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)二、四象限
(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小
(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸;|k|越小，越接近x軸
[正比例函數(shù)解析式的確定]——待定系數(shù)法
1. 設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)
2. 把已知條件(一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))代入解析式，得到關(guān)于k的一元一次方程
3. 解方程，求出系數(shù)k
4. 將k的值代回解析式
二、一次函數(shù)
[一次函數(shù)]
一般地，形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，k 0)函數(shù)，叫做一次函數(shù). 當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).
[一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)]
一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)(0，b)和(- ，0)兩點(diǎn)的`一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.(當(dāng)b>0時(shí)，向上平移;當(dāng)b<0時(shí)，向下平移)
(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k 0)
(2)必過(guò)點(diǎn)：(0，b)和(- ，0)
(3)走向： k>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限;k<0，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限
b>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限;b<0，圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限
直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限
直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限
直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限
(4)增減性： k>0，y隨x的增大而增大;k<0，y隨x增大而減小.
(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸;|k|越小，圖象越接近于x軸.
(6)圖像的平移： 當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位;
當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.
[直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系]
(1)兩直線平行：k1=k2且b1 b2
(2)兩直線相交：k1 k2
(3)兩直線重合：k1=k2且b1=b2
[確定一次函數(shù)解析式的方法]
(1)根據(jù)已知條件寫(xiě)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式;
(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;
(3)解方程得出未知系數(shù)的值;
(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果.
[一次函數(shù)建模]
函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案、最佳策略等問(wèn)題. 建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，就是要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.
正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象在賦予實(shí)際意義時(shí)，其圖象大多為線段或射線. 這是因?yàn)樵趯?shí)際問(wèn)題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實(shí)際問(wèn)題有意義.
從圖象中獲取的信息一般是：(1)從函數(shù)圖象的形狀判定函數(shù)的類型;
(2)從橫、縱軸的實(shí)際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義.
解決含有多個(gè)變量的問(wèn)題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中某個(gè)變量作為自變量，再根據(jù)問(wèn)題的條件尋求可以反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù).
三、用函數(shù)觀點(diǎn)看方程(組)與不等式
[一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系]
任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值. 從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.
[一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系]
任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí)，求自變量的取值范圍.
[一次函數(shù)與二元一次方程組]
(1)以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y= 的圖象相同.
(2)二元一次方程組 的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y= 和y= 的圖象交點(diǎn).
三個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想
1.方程的思想。數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的，初中數(shù)學(xué)最重要的就是等量關(guān)系，其次是不等量關(guān)系。最常見(jiàn)的等量關(guān)系就是方程。
2.數(shù)形結(jié)合的思想。任何一道題，只要與形沾邊，就應(yīng)該根據(jù)題意中的草圖分析一番。這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強(qiáng)。
3.對(duì)應(yīng)的思想。
初中生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高，需要靠自己勤加練習(xí)和腳踏實(shí)地的去接受數(shù)學(xué)。
合數(shù)的概念
合數(shù)指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)(0除外)整除的數(shù)。與之相對(duì)的是質(zhì)數(shù)，而1既不屬于質(zhì)dao數(shù)也不屬于合數(shù)。最小的合數(shù)是4。其中，完全數(shù)與相親數(shù)是以它為基礎(chǔ)的。
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)10
一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）函數(shù)，叫做一次函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。
一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(guò)（0，b）和（—b/k，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到。（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）
（2）必過(guò)點(diǎn)：（0，b）和（—b/k，0）
（3）走向：k>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；
k<0，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限
b>0，圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限；
b<0，圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限
k>0，b>0；<=>直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
K<0，b>0；<=>直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限
K<0，b<0；<=>直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限
當(dāng)h<0,k<0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。
因此，研究拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，通過(guò)配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫(huà)圖象提供了方便.
2.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a，[4ac-b2]/4a).
3.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a<0，當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小.
4.拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
(1)圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c);
(2)當(dāng)△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?|。
當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)△<0.圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0;當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y<0.
5.拋物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a.
頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是取得最值時(shí)的自變量值，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是最值的取值.
6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí)，可設(shè)解析式為一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn).
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)12
目標(biāo)設(shè)計(jì)
1.知識(shí)與技能：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，鞏固二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質(zhì)，理解頂點(diǎn)與最值的關(guān)系，會(huì)用頂點(diǎn)的性質(zhì)求解最值問(wèn)題。
能力訓(xùn)練要求
1、能夠分析實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問(wèn)題的最大（小）值發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力， 學(xué)會(huì)用建模的思想去解決其它和函數(shù)有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題。
2、通過(guò)觀察圖象，理解頂點(diǎn)的特殊性，會(huì)把實(shí)際問(wèn)題中的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，提高分析解決問(wèn)題的能力，并體會(huì)一般與特殊的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)思想。
情感與價(jià)值觀要求
1、在進(jìn)行探索的活動(dòng)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)，逐步養(yǎng)成合作交流的習(xí)慣。
2、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的習(xí)慣，體會(huì)體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中廣泛的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)自信心。
方法設(shè)計(jì)
由于本節(jié)課是應(yīng)用問(wèn)題，重在通過(guò)學(xué)習(xí)總結(jié)解決問(wèn)題的方法，故而本節(jié)課以“啟發(fā)探究式”為主線開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，解決問(wèn)題以學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦探究為主，必要時(shí)加以小組合作討論，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，突出學(xué)生的主體地位，達(dá)到“不但使學(xué)生學(xué)會(huì)，而且使學(xué)生會(huì)學(xué)”的目的。為了提高課堂效率，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，適當(dāng)?shù)剌o以電腦多媒體技術(shù)。
導(dǎo)學(xué)提綱
設(shè)計(jì)思路：最值問(wèn)題又是生活中利用二次函數(shù)知識(shí)解決最常見(jiàn)、最有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的問(wèn)題之一，它生活背景豐富 ，學(xué)生比較感興趣，對(duì)九年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象與性質(zhì)以后，對(duì)函數(shù)的思想已有初步認(rèn)識(shí)，對(duì)分析問(wèn)題的方法已會(huì)初步模仿，能識(shí)別圖象的增減性和最值，但在變量超過(guò)兩個(gè)的實(shí)際問(wèn)題中，還不能熟練地應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題，而面積問(wèn)題學(xué)生易于理解和接受 ，故而在這兒作此調(diào)整，為求解最大利潤(rùn)等問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的.能力，這也符合新課標(biāo)中知識(shí)與技能呈螺旋式上升的規(guī)律。目的在于讓學(xué)生通過(guò)掌握求面積最大這一類題，學(xué)會(huì)用建模的思想去解決其它和函數(shù)有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，此部分內(nèi)容既是學(xué)習(xí)一次函數(shù)及其應(yīng)用后的鞏固與延伸，又為高中乃至以后學(xué)習(xí)更多函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的理論和思想方法基礎(chǔ)。
（一）前情回顧：
1.復(fù)習(xí)二次函數(shù)y＝ax2+bx＋c（a≠0）的圖象、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸和最值
2.（1）求函數(shù)y＝x2+ 2x－3的最值。
（2）求函數(shù)y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）
3、拋物線在什么位置取最值？
（二）適當(dāng)點(diǎn)撥，自主探究
請(qǐng)你畫(huà)一個(gè)周長(zhǎng)為40厘米的矩形，算算它的面積是多少？再和同學(xué)比比，發(fā)現(xiàn)了什么？誰(shuí)的面積最大？
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)13
第一、函數(shù)的定義以及基本性質(zhì)，比如奇偶性，一個(gè)代表著函數(shù)圖像以零點(diǎn)為對(duì)稱中心，一個(gè)代表著函數(shù)圖像以x=0為對(duì)稱軸，再比如單調(diào)性，這更是從函數(shù)圖像上面可以直接得出直觀的單調(diào)性質(zhì)，高考雖然說(shuō)大綱不會(huì)超過(guò)高中大綱，但是其思想和技巧往往會(huì)涉及到函數(shù)更高級(jí)的性質(zhì)，比如凹凸性，通過(guò)分層設(shè)問(wèn)的方式做成一道難度頗高的壓軸題，這時(shí)如果我們抓住圖像，分析性質(zhì)，通過(guò)題目中前幾問(wèn)的提示繼續(xù)思考，往往就能剝繭抽絲得到最后的證明和解答，而非連續(xù)函數(shù)的`問(wèn)題往往出現(xiàn)在選擇和填空題里面，一般都是考察的基本的代數(shù)變形能力，比較重要的一個(gè)思想是，通過(guò)結(jié)論和題目條件所給形式帶入特殊形式的函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算變形。
第二、函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)，在這里，我們進(jìn)一步分析函數(shù)單調(diào)性的基本形式，對(duì)于一般的光滑函數(shù)，我們給出了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)從圖像上面也能非常直觀的理解為函數(shù)每一點(diǎn)切線的斜率，函數(shù)的最值也能直觀的從函數(shù)圖像上面顯現(xiàn)出來(lái)，因此，處理此類問(wèn)題的時(shí)候，抓住函數(shù)圖像為突破口，是非常有必要和有效率的。
第三、函數(shù)的模型以及圖像，這本身就是圖像的基本應(yīng)用。
我們看到，圖像是解決函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)非常重要和常用的方法，我們?nèi)绻茉谝惠啅?fù)習(xí)里養(yǎng)成觀察函數(shù)圖像的習(xí)慣和熟練掌握分析函數(shù)圖像的技巧，那么在后面的函數(shù)綜合題目里面，在遇到同時(shí)分析函數(shù)代數(shù)變形和圖像的時(shí)候，我們會(huì)更加游刃有余。
最后，希望大家在一輪復(fù)習(xí)里在函數(shù)的復(fù)習(xí)中能夯實(shí)基礎(chǔ)，從圖像入手分析問(wèn)題，為以后高考做好沖刺的準(zhǔn)備。
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)14
一般地，函數(shù)y=logax(a0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，也就是說(shuō)以冪為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對(duì)數(shù)函數(shù)。
對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。
右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：
可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的`對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。
(3)函數(shù)總是通過(guò)(1，0)這點(diǎn)。
(4)a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。
(5)顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。
函數(shù)知識(shí)點(diǎn)15
銳角三角函數(shù)定義
銳角角A的正弦（sin），余弦（cos）和正切（tan），余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。
正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊；sinA=a/c
余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；cosA=b/c
正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；tanA=a/b
余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊；cotA=b/a
正割（sec）等于斜邊比鄰邊；secA=c/b
余割（csc）等于斜邊比對(duì)邊。cscA=c/a
互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系
sin（90-）=cos，cos（90-）=sin，
tan（90-）=cot，cot（90-）=tan。
平方關(guān)系：
sin^2（）+cos^2（）=1
tan^2（）+1=sec^2（）
cot^2（）+1=csc^2（）
積的關(guān)系：
sin=tancos
cos=cotsin
tan=sinsec
cot=coscsc
sec=tancsc
csc=seccot
倒數(shù)關(guān)系：
tancot=1
sincsc=1
cossec=1
銳角三角函數(shù)公式
兩角和與差的三角函數(shù)：
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB?
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）
cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）
三角和的三角函數(shù)：
sin（++）=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin
cos（++）=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos
tan（++）=（tan+tan+tan-tantantan）/（1-tantan-tantan-tantan）
輔助角公式：
Asin+Bcos=（A^2+B^2）^（1/2）sin（+t），其中
sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）
cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）
tant=B/A
Asin+Bcos=（A^2+B^2）^（1/2）cos（-t），tant=A/B
倍角公式：
sin（2）=2sincos=2/（tan+cot）
cos（2）=cos^2（）-sin^2（）=2cos^2（）-1=1-2sin^2（）
tan（2）=2tan/[1-tan^2（）]
三倍角公式：
sin（3）=3sin-4sin^3（）
cos（3）=4cos^3（）-3cos
半角公式：
sin（/2）=（（1-cos）/2）
cos（/2）=（（1+cos）/2）
tan（/2）=（（1-cos）/（1+cos））=sin/（1+cos）=（1-cos）/sin
降冪公式
sin^2（）=（1-cos（2））/2=versin（2）/2
cos^2（）=（1+cos（2））/2=covers（2）/2
tan^2（）=（1-cos（2））/（1+cos（2））
萬(wàn)能公式：
sin=2tan（/2）/[1+tan^2（/2）]
cos=[1-tan^2（/2）]/[1+tan^2（/2）]
tan=2tan（/2）/[1-tan^2（/2）]
積化和差公式：
sincos=（1/2）[sin（+）+sin（-）]
cossin=（1/2）[sin（+）-sin（-）]
coscos=（1/2）[cos（+）+cos（-）]
sinsin=-（1/2）[cos（+）-cos（-）]
和差化積公式：
sin+sin=2sin[（+）/2]cos[（-）/2]
sin-sin=2cos[（+）/2]sin[（-）/2]
cos+cos=2cos[（+）/2]cos[（-）/2]
cos-cos=-2sin[（+）/2]sin[（-）/2]
推導(dǎo)公式：
tan+cot=2/sin2
tan-cot=-2cot2
1+cos2=2cos^2
1-cos2=2sin^2
1+sin=（sin/2+cos/2）^2
其他：
sin+sin（+2/n）+sin（+2*2/n）+sin（+2*3/n）++sin[+2*（n-1）/n]=0
cos+cos（+2/n）+cos（+2*2/n）+cos（+2*3/n）++cos[+2*（n-1）/n]=0以及
sin^2（）+sin^2（-2/3）+sin^2（+2/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
函數(shù)名正弦余弦正切余切正割余割
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）有
正弦函數(shù)sin=y/r
余弦函數(shù)cos=x/r
正切函數(shù)tan=y/x
余切函數(shù)cot=x/y
正割函數(shù)sec=r/x
余割函數(shù)csc=r/y
正弦（sin）：角的對(duì)邊比上斜邊
余弦（cos）：角的鄰邊比上斜邊
正切（tan）：角的對(duì)邊比上鄰邊
余切（cot）：角的鄰邊比上對(duì)邊
正割（sec）：角的斜邊比上鄰邊
余割（csc）：角的斜邊比上對(duì)邊
三角函數(shù)萬(wàn)能公式
萬(wàn)能公式
（1）（sin）^2+（cos）^2=1
（2）1+（tan）^2=（sec）^2
（3）1+（cot）^2=（csc）^2
證明下面兩式，只需將一式，左右同除（sin）^2,第二個(gè)除（cos）^2即可
（4）對(duì)于任意非直角三角形，總有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證：
A+B=-C
tan（A+B）=tan（-C）
（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tan-tanC）/（1+tantanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得證
同樣可以得證，當(dāng)x+y+z=n（nZ）時(shí)，該關(guān)系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論
（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）
（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
萬(wàn)能公式為：
設(shè)tan（A/2）=t
sinA=2t/（1+t^2）（A+，kZ）
tanA=2t/（1-t^2）（A+，kZ）
cosA=（1-t^2）/（1+t^2）（A+，且A+（/2）kZ）
就是說(shuō)sinA.tanA.cosA都可以用tan（A/2）來(lái)表示，當(dāng)要求一串函數(shù)式最值的時(shí)候，就可以用萬(wàn)能公式，推導(dǎo)成只含有一個(gè)變量的函數(shù)，最值就很好求了。
三角函數(shù)關(guān)系
倒數(shù)關(guān)系
tancot=1
sincsc=1
cossec=1
商的關(guān)系
sin/cos=tan=sec/csc
cos/sin=cot=csc/sec
平方關(guān)系
sin^2（）+cos^2（）=1
1+tan^2（）=sec^2（）
1+cot^2（）=csc^2（）
同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法
構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1的正六邊形為模型。
倒數(shù)關(guān)系
對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；
商數(shù)關(guān)系
六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個(gè)也存在這種關(guān)系。）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。
平方關(guān)系
在帶有陰影線的.三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。
兩角和差公式
sin（+）=sincos+cossin
sin（-）=sincos-cossin
cos（+）=coscos-sinsin
cos（-）=coscos+sinsin
tan（+）=（tan+tan）/（1-tantan）
tan（-）=（tan-tan）/（1+tantan）
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2=2sincos
cos2=cos^2（）-sin^2（）=2cos^2（）-1=1-2sin^2（）
tan2=2tan/（1-tan^2（））
tan（1/2*）=（sin）/（1+cos）=（1-cos）/sin
半角的正弦、余弦和正切公式
sin^2（/2）=（1-cos）/2
cos^2（/2）=（1+cos）/2
tan^2（/2）=（1-cos）/（1+cos）
tan（/2）=（1cos）/sin=sin/1+cos
萬(wàn)能公式
sin=2tan（/2）/（1+tan^2（/2））
cos=（1-tan^2（/2））/（1+tan^2（/2））
tan=（2tan（/2））/（1-tan^2（/2））
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3=3sin-4sin^3（）
cos3=4cos^3（）-3cos
tan3=（3tan-tan^3（））/（1-3tan^2（））
誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式的本質(zhì)
所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角n（/2）的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)。
常用的誘導(dǎo)公式
公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin（2k）=sinkz
cos（2k）=coskz
tan（2k）=tankz
cot（2k）=cotkz
公式二：設(shè)為任意角，的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin（）=-sin
cos（）=-cos
tan（）=tan
cot（）=cot
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