力矩平衡條件的應用物理教案

　　關于殘缺圓盤重心的分析

　　例1 一個均勻圓盤，半徑為 ，現在在園盤靠著邊緣挖去一個半徑為 的圓孔，試分析說明挖去圓孔后，圓盤的重心在何處．

　　解析：由于圓盤均勻，設圓盤的單位面積的重力為 ，

　　為了思考問題的方便，我們設想在大圓盤的另一側對稱地再挖去一個半徑等于 的小圓，如圖所示，我們要求的是紅色的小圓盤與灰色部分的重心位置，根據對稱性， 一定是大圓圓心 與小圓圓心 連線上，設 ，則 ．

　　如果我們用手指支撐在 點，則這個物體會保持平衡，這兩部分的重心對 點的力矩滿足平衡條件．這兩部分的重力分別是 及 ．

　　可列出力矩平衡方程

　　解方程，得出： ．

　　關于一端抬起的`木桿重力問題

　　例2 一個不均勻的長木桿，平放在地面上，當我們抬起它的一端（另一端支在地面上），需要用500N的力；如果抬另一端，發現這回需要用800N才能抬起．請分析說明這根木桿的重力是多少？

　　解析：設木桿長為 ，重力為 ，已知抬起 端時用力為500N，抬起 端時用力大小為800N．可以假設木桿的重心距 端為 ，距 端為 ．

　　抬 端時，以 端點為軸 由力矩平衡條件可得

　　抬 端時，以 端點為軸 由力矩平衡條件可得

　　聯立上面的兩方程式可得

　　關于圓柱體滾臺階的問題

　　例3 如圖所示，若使圓柱體滾上臺階，要使作用力最小，試分析作用力的作用點應作用在圓柱體截面的什么位置？

　　解析：根據題意：

　　在圓柱體滾上臺階的過程中，圓柱體與臺階相接處為轉動軸．

　　由固定轉動軸物體的平衡條件可知：在勻速轉動時圓柱體的重力的力矩應與作用力的力矩相等．又因為圓柱體的重力和它對轉動軸的力臂是確定的，所以要使作用力最小其力臂一定最長，又因為轉動軸在圓柱體的邊緣上，作用力的作用點也要在圓柱體的邊緣上，要想作用力的力臂最長就只有圓柱體截面的直徑，如圖；作用力的方向是垂直圓柱體截面直徑向上，如圖所示：

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