第三屆華杯賽決賽一試試題答案
參考答案
第三屆華杯賽決賽一試試題答案：1.原式等于2.360的約數(shù)有24個(gè)，這些約數(shù)的和是1170
3.在第3939行中，自左至右第1949個(gè)
4.至少要畫(huà)10條直線
5.8倍
6.剩下124枚白子
1.【解】原式===2.【解】360=2×2×2×3×3×5=23×32×5
所以360有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24個(gè)約數(shù)
約數(shù)的和是
(1+2+22+23)×(1十3+32)×(1十5)=1170
3.【解】我們先注意，第一行的每個(gè)數(shù)的分子、分母之和等于2，第二行的每個(gè)數(shù)的分子、分母之和等于3，…，第五行的每個(gè)數(shù)的分子、分母之和等于6。由此可看到一個(gè)規(guī)律，就是每行各數(shù)的分子、分母之和等于行數(shù)加1.
其次，很明顯可以看出，每行第一個(gè)數(shù)的分母是1，第二個(gè)數(shù)的分母是2.…，即自左起第幾個(gè)數(shù)的分母就是幾.
因此，所在的行數(shù)等于1991+1949-1=3939。而在第3939行中，位于自左至右第1949個(gè).
4.【解】我們來(lái)一條一條地畫(huà)直線.畫(huà)第一條直線將圓形紙片劃分成2塊。畫(huà)第二條直線，如果與第一條直線在圓內(nèi)相交，則將圓形紙片劃分成4塊(增加了2塊)，否則只能劃分成3塊。類似地，畫(huà)第三條直線，如果與前兩條直線都在圓內(nèi)相交，且交點(diǎn)互不相同(即沒(méi)有3條直線交于一點(diǎn))，則將圓形紙片劃分成7塊(增加了3塊)，否則劃分的塊數(shù)少于7塊。下圖是畫(huà)3條直線的各種情形
由此可見(jiàn)，若希望將紙片劃分成盡可能多的塊教，應(yīng)該使新畫(huà)出的直線與原有的直線都在圓內(nèi)相交，且交點(diǎn)互不相同。這時(shí)增加的塊數(shù)等于直線的條數(shù)。這樣劃分出的.塊數(shù),列表如下：
直線條數(shù)紙片最多劃分成的塊數(shù)
1 1+1
2 1+1+2
3 1+1+2+3
5 1+1+2+3+4
5 1+1+2+3+4+5
不難看出，表中每行右邊的數(shù)等于1加上從1到行數(shù)的所有整數(shù)的和。因?yàn)?+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可見(jiàn)第9行右邊還不到50，而第10行右邊已經(jīng)超過(guò)50了.
答：至少要畫(huà)10條直線.
5.【解】我們先畫(huà)一個(gè)圖如下，其中A是學(xué)校，B是工廠，C是汽車(chē)和勞模相遇的地點(diǎn)。
汽車(chē)從A到B往返需1小時(shí)，即從A到B需30分鐘，汽車(chē)從A到C往返用了40分鐘，即從A到C需20分鐘，從而從C到B需
30-20=10(分鐘)。因?yàn)槠?chē)到達(dá)C點(diǎn)是2點(diǎn)20分，所以勞模從B到C共用
60+20=80(分鐘)，從而汽車(chē)速度是勞模步行速度的8(=80÷10)倍。
6.【解】由于1990是偶數(shù)，在第一圈操作中，一共取走=995枚白子，其中最后取的是黑子前面的一個(gè)子(即反時(shí)針?lè)较虻谝粋�(gè)子)。這時(shí)還剩下995枚白子.下一次取走黑子后面一個(gè)子(即順時(shí)針?lè)较虻谝粋�(gè))。由于995是奇數(shù)，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一個(gè)子，共取走=498枚白子，還剩下497枚白子。類似地，第三圈操作取走=249枚白子，還剩下248枚白子。由于248是偶數(shù)，第四圈操作最后取走黑子，這時(shí)圓周上還剩下=124枚白子
答.圓周上還剩下124枚白子
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