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2018最新奧數(shù)試題解析
甲多開支100元，三年后負債600元.求每人每年收入多少?
S的末四位數(shù)字的和是多少?
一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程.
求和
證明：質數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù).
若兩個整數(shù)x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除.
如圖1-95所示.在四邊形ABCD中，對角線AC，BD的中點為M，N，MN的延長線與AB邊交于P點.求證：△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.
答案解析：
所以 x=5000(元).
所以S的末四位數(shù)字的和為1+9+9+5=24.
因為
時，a-b0，即ab.即當b0或b0時，等式成立.4.設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米.依題意則
有
由②有2x+y=20， ③
由①有y=12-x.將之代入③得
2x+12-x=20.
所以x=8(千米)，于是y=4(千米).
5.第n項為
所以設p=30q+r，030.因為p為質數(shù)，故r0，即0
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q).
可知m4.由①，m0，且為整數(shù)，所以m=1，2，3.下面分別研究p，q.
(1)若m=1時，有
解得p=1，q=1，與已知不符，舍去.
(2)若m=2時，有
因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解.
(3)若m=3時，有
解之得
故 p+q=8.
8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設，9|(x2+xy+y2)，所以3|(x2+xy+y2)，從而3|(x-y)2.因為3是質數(shù)，故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知，9|3xy，故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x，結合3(x-y)，便得3|y;若3|y，同理可得，3|x.
9.連結AN，CN，如圖1-103所示.因為N是BD的中點，所以上述兩式相加
另一方面，S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.
因此只需證明
S△AND=S△CNP+S△DNP.
由于M，N分別為AC，BD的中點，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP.
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.
奧數(shù)試題解析
甲多開支100元，三年后負
債600元.求每人每年收入多少?
S的末四位數(shù)字的和是多少?
一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程.
求和
證明：質數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù).
若兩個整數(shù)x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除.
如圖1-95所示.在四邊形ABCD中，對角線AC，BD的中點為M，N，MN的延長線與AB邊交于P點.求證：△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.
答案解析：
所以 x=5000(元).
所以S的末四位數(shù)字的和為1+9+9+5=24.
因為
時，a-b0，即ab.即當b0或b0時，等式成立.4.設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米.依題意則
有
由②有2x+y=20， ③
由①有y=12-x.將之代入③得
2x+12-x=20.
所以x=8(千米)，于是y=4(千米).
5.第n項為
所以
設p=30q+r，030.因為p為質數(shù)，故r0，即0
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q).
可知m4.由①，m0，且為整數(shù)，所以m=1，2，3.下面分別研究p，q.
(1)若m=1時，有
解得p=1，q=1，與已知不符，舍去.
(2)若m=2時，有
因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解.
(3)若m=3時，有
解之得
故 p+q=8.
8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設，9|(x2+xy+y2)，所以3|(x2+xy+y2)，從而3|(x-y)2.因為3是質數(shù)，故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知，9|3xy，故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x，結合3(x-y)，便得3|y;若3|y，同理可得，3|x.
9.連結AN，CN，如圖1-103所示.因為N是BD的中點，所以上述兩式相加
另一方面，S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.
因此只需證明
S△AND=S△CNP+S△DNP.
由于M，N分別為AC，BD的中點，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP.
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.
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