關于逆向思維的論文

　　[摘要]正向思維是解決問題的正常途徑，但對一些問題常常一籌莫展；若改變思維方向，用逆向思維方法，可以使問題迎刃而解。

　　[關鍵詞]逆向思維

　　逆向思維是一種創造性思維。逆向思維是相對正向思維而言，它是與人們常規思維程序相反的，不是從原因(或條件)來推知結果(或結論)，而是從相反方向展開思路，分析問題，而得出的結論。

　　由于數學定義，公式都有可逆性，不少數學定理、數學運算以及解題過程也有可逆性，所有這些可逆性理論為逆向思維提供了理論依據。因此，在解答數學題時，應擺脫思維定勢的束縛，打破常規，從問題的反面入手，這樣常能由山窮水盡進入柳暗花明。本文從以下幾個方面說明如何應用逆向思維巧解數學題。

　　1利用公式的可逆性，使難題迎刃而解

　　善于將數學公式從右到左熟練地逆向運用，是對公式真正理解程度掌握的重要標志。當解題思路受阻，出現思維障礙時，如能靈活地將公式逆向運用，能使解題豁然開朗。

　　例1、求的值

　　分析：若按習慣正用公式，極易想到對進行積化和差，得，但由于沒有出現特殊角，無法求出其值，此時如再利用倍角公式展開，仍然不能奏效，若聯想到二倍角公式的可逆性，逆向運用二倍角公式，本題可順利獲解。

　　解：

　　2借助數學運算的可逆性，逆向探求解題途徑

　　數學中的許多運算都是可逆的，例如加法與減法，乘法與除法，乘方與開方，指數運算與對數運算，三角運算與反三角運算等等。在同一級運算中，一種運算的`逆運算都是由它的正運算引出的，解題時，注意借助數學運算的可逆性，學會逆向運算法則，可以有效地培養運算能力，提高解題速度。

　　例2、已知、、為正數，且，求證：。

　　分析：觀察條件等式的左邊，逆向聯想到是反正弦值。可以把條件等式轉換成正弦來解答，所以可證。

　　證明：設,，，則，，,即求：。

　　即

　　3利用正難則反的原則，使解題思路豁然開朗

　　解決一個數學問題，若正面情況比較復雜，或從正面無法入手時，則必須快速轉向，采取順繁則逆，正難則反的策略。

　　例3、若下列三個方程：，，，至少有一個方程有實根。試求實數的取值范圍。

　　分析：三個方程中至少有一個方程有實根，情況很復雜，可能有七種情況分別討論，十分復雜，但從反面入手，只有一種情況，即三個方程都沒有實根，情況仍為簡單，由此得以下解法。

　　解：若三個方程均無實數根，則有

　　解得，要使三個方程至少有一個方程有實根，則的取值范圍為(，,

　　4把握因果關系的可逆性，逆向探求解題途徑

　　數學過程有一定的因果關系，通常從原因推知結論，但有時可反過來，從肯定的結論入手進行推理，推出符合條件或易證的命題，并且推理的每一步均可逆，則可證得原命題成立，這種執果索因的分析方法，便于思考，有益于獲得解題捷徑。

　　例4、求證：的最小值是

　　分析：若要證明函數的最小值是，只需證成立，則移項得，變形為，即，當時，此不等式成立，每一步都可逆推回去。

　　5利用反證法思想，尋找解題佳徑

　　數學題浩似煙海，如果單純用一種思維方式去思考，有時會思路閉塞，陷入困境，若善于從不同角度、不同方向思考問題，熟練靈活運用反證法，能使一些難題迎刃而解，出奇制勝地解決問題。

　　例5、已知銳角、滿足，求證：。

　　分析：本題若直接由已知條件證明，確有很大的難度。但若從反面出發，考慮，與三種可能情況，則間接得證。

　　證明：(1)假若且、為銳角，則。

　　，即

　　。①

　　同理，即

　　。②

　　由①+②得，這與已知條件矛盾。

　　不大于。

　　(2)假若，則。

　　同上證法，有且。

　　，這與已知條件矛盾

　　不小于。

　　綜合上述情況，可知成立。

　　本文通過以上五個方面來討論逆向思維方法。解決一些數學問題，充分顯示出逆向思維是重要的數學思維方法。但是，由于我們的教學過程大部分是順向思維，往往使學生在很大程度上形成思維定勢，這樣在某種程序上制約了逆向思維的建立，所以在以后教學中如何對學生進行逆向思維訓練，幫助學生由單向思維向雙向思維發展，提高解題能力，這仍然需要廣大教師努力去工作。

　　[參考文獻]

　　[1]工瑞立鄒澤民中學數學方法論[M]廣西教育出版社

　　[2]楊云培養創新思維的途徑與方法[J]數學教學研究2002.1

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