平行四邊形的面積的教學設計

時間：2023-03-05 06:40:05 教學設計我要投稿

平行四邊形的面積的教學設計

　　篇一：《平行四邊形的面積》教學設計

　　教學內容：人教版小學五年級數學上冊《平行四邊形的面積》計算。

平行四邊形的面積的教學設計

　　教材分析：

　　《平行四邊形面積》教學是在學生已經掌握并能靈活運用長方形面積計算和平行四邊形特征的基礎上進行教學的，它將為后面學習梯形、三角形、圓的面積及立體圖形的表面積奠定基礎，因此起到承上啟下的作用。

　　學情分析：學生雖然已經學過了長方形面積計算方法和平行四邊形特征，但小學生的空間想象能力不夠豐富，推動平行四邊形面積計算公式有困難，因此，本節課將讓學生充分運用已有的知識，全面參與新知識的發生、發展和形成過程。

　　教學目標：

　　1、知識與技能：

　　（1）學生嘗試探索、動手實踐推導出平行四邊形面積計算公式；

　　（2）能正確求平行四邊形的面積。

　　2、過程與方法：讓學生經歷嘗試探索平行四邊形面積公式的推導過程，通過操作、觀察、比較、推理和概括能力，發展學生的空間觀念，滲透轉化的思想方法。

　　3、情感態度與價值觀：感受數學源于生活，生活需要數學；帶學生體會嘗試學習的快感；培養學生的分析、綜合、抽象、概括和解決實際問題的能力，增強學生學習數學的積極性；感受學習數學的快樂。

　　教學重點：探究并推導平行四邊形面積的計算公式，并能正確運用。教學難點：平行四邊形面積的計算公式推導

　　教學準備：多媒體課件、平行四邊形紙片、剪刀、三角板等。

　　教學過程：

　　一、創設情境引入新課

　　1、課件出示書中主題圖

　　提問：你發現哪些圖形？會計算哪些圖形的面積?

　　那你說一下長方形和正方形的面積怎么計算？

　　板書：長方形的面積=長×寬

　　2、猜測：主題圖中的兩個花壇，你認為哪個花壇的.面積大？

　　學生在猜測中明白：必須準確的知道兩個圖形的面積才能進行比較。可是學生只會計算長方形的面積，那么這節課我們就來研究平行四邊形的面積，及時點出課題并板書課題：平行四邊形的面積

　　二、自主探索學習新知

　　（一）利用方格，初步探究

　　1、以前用數方格的方法得到了長方形和正方形的面積，用數方格的方法能得到平行四邊形的面積嗎？一起來試一試。

　　課件出示：比較兩個圖形的大小，然后引進格子圖）

　　師：請你們來數一數比較一下它們的面積是多少？（（1小格代表1平方厘米，不滿1格的都按半格計算。）

　　2、同桌交流一下方法。

　　3、匯報想法。誰愿意說說你的方法？

　　4、通過數方格你發現了什么？

　　（生：我發現平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，平行四邊形的面積和長方形的面積也相等。

　　5、小結：（指圖）通過數方格我們發現，平行四邊形的底和長方形的長相等，平行四邊形的高和長方形的寬相等，平行四邊形的面積和長方形的面積也相等。這是一種巧合呢？還是平行四邊形和長方形之間真有某種聯系呢？通過下面的學習你一定會明白。

　　如果，用數方格的方法可以得到這個平行四邊形的面積，現在我想得到一個很大的平行四邊形花壇的面積，你認為數方格的方法怎么樣？有沒有合適的方格紙呢？那么，能不能找到一種方法，適用于計算所有平行四邊形的面積呢？我們試試看！

　　（二）動手操作，深入探究

　　1、介紹材料老師為每組準備了4個不同的平行四邊形，我們就利用剪刀、三角板等學具，完成下面的深入探究活動。尋找平行四邊形面積的計算方法。

　　2、活動要求：

　　（1）思考：動手操作前建議大家先想一想：怎樣才能得到這個平行四邊形的面積呢？能不能把它變成以前學過的圖形呢？怎么變？想好了嗎？

　　（2）活動步驟

　　我們的“深入探究活動”，分三步進行：

　　第一步：動手操作。為了剪拼的規范，建議大家用鉛筆和三角板先畫一畫，再剪拼。

　　第二步：結合剪拼過程，思考這三個問題：大聲讀出來！ ①通過剪一剪，拼一拼，我們把平行四邊形變成了什么圖形？

　　②剪拼后的圖形與原來的平行四邊形相比，什么不變？”

　　③剪拼后的圖形各部分和原來平行四邊形各部分之間有什么關系？

　　第三步：把你的剪拼方法及你對這三個問題的思考和小組同學進行交流。明白了嗎？比比看，哪個小組進行的又快又好！開始吧！

　　3、學生活動，教師參與。

　　請同學把剪拼后圖形帖在黑板上，并在黑板前交流剪拼方法和對三個問題的思考。

　　4、匯報交流

　　（1）匯報剪拼過程。我們先請這幾個同學和大家交流一下他的剪拼方法。請你們一邊演示，一邊說說你的剪拼過程。指導規范敘述：

　　生1：我把平行四邊形沿高剪下一個直角三角形，向右平移，能拼成一個長方形。）生2：我把平行四邊形沿高剪下一個直角梯形，向右平移，也能拼成一個長方形。）生3：我把平行四邊形沿高剪下兩個直角三角形，其中一個向右平移，能拼成一個長方形。）

　　（板書：沿高剪平移）并追問：為什么要沿高剪？

　　（生：只有沿高剪，才能把平行四邊形變成長方形。）請大家也像他們三個那樣，一邊操作，一邊說說你的剪拼方法。

　　課件演示剪、拼過程。

　　（2）匯報深入探究的三個問題。結合剪拼過程，誰來這兒邊指圖形邊說說你對這三個問題的思考？

　　（生：①通過剪一剪，拼一拼，我們把平行四邊形變成了長方形。②剪拼后的長方形與原來的平行四邊形相比，面積不變。③剪拼后的長方形的長和原來平行四邊形的底相等，長方形的寬和平行四邊形的高相等。）

　　追問：你怎么知道平行四邊形的面積和剪拼后的長方形面積相等？請每位同學選一種你喜歡的剪拼方法，像剛才兩位同學一樣，說說你對這3個問題的思考。（同時，師板書：平行四邊形的面積底高

　　長方形的面積長寬）

　　（三）總結方法：剛才大家在剪拼的時候，都把平行四邊形變成了長方形，這種方法，是一種很重要的數學思想方法——轉化。（板書：轉化）

　　通過轉化，我們可以找到新舊知識之間的聯系，從而解決新問題。相信大家在今后的學習中會不斷運用這種方法。

　　（四）小結提煉，推導公式

　　1、剛才我們通過剪拼，把平行四邊形轉化成了長方形。我們發現：（生齊說：長方形和原來的平行四邊形面積相等。長方形的長和原來平行四邊形的底相等，長方形的寬和平行四邊形的高相等。）

　　你能不能根據長方形的面積公式，總結出平行四邊形的面積公式？

　　2、誰說說看？（生：平行四邊形的面積等于底乘高。）

　　為什么呢？（生：因為長方形的面積等于長乘寬。）

　　（同時師補充完整板書。）

　　篇二：平行四邊形的面積》教學設計及反思

　　一、課標分析：

　　《數學課程標準》提出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗。”所謂體驗，從教育的角度看，是一種親歷親為的活動，是一種積極參與活動的學習方式。本節課的設計充分利用學生已有的生活經驗，把這一學習內容設計成實踐活動，讓學生在自主探究合作學習中理解平行四邊形面積的計算公式，并了解平行四邊形與其他幾種圖形間的關系，讓學生經歷學習過程，充分體驗數學學習，感受成功的喜悅，增強信心，同時培養學生思維的靈活性，與他人合作的態度以及學習數學的興趣。學生的數學學習應該是學生個體的主動建構過程，每個學生都是從自己的認知基礎出發依自己的思維方式理解數學的。因此教學設計應充分體現學生的主體地位，應考慮每一個學生的發展。本節課在教學方式上，將傳統的課堂教學模式引向多媒體信息領域，利用多媒體信息豐富、傳播及時、讀取方便、交互強等特性，豐富教學形式，提高教育效率；在教學內容上，充分利用各種信息資源，與小學數學科教學內容相結合，使學生的學習內容更具有時代氣息，更貼近生活，使教材“活”起來。

　　二、教材分析：

　　《平行四邊形的面積》是義務教育課程標準實驗教材五年級上冊第五單元第一課時的內容。該內容是在學生已學會長方形、正方形的面積計算，已掌握平行四邊形的特征，會畫平行四邊形的底和對應的高的基礎上教學的。通過本節課的學習，能為學生推導三角形、梯形面積的計算公式提供方法遷移，同時也為進一步學習圓的面積和立體圓形的表面積做了準備。

　　由于學生已掌握了長方形的面積計算公式，所以當學生掌握了割補法，把平行四邊形轉化成長方形之后，平行四邊形面積的計算公式就自然而然的產生了。本節課的教學不僅培養了學生的觀察比較、分析綜合的能力，還培養了學生動手操作、探索創新的能力，是學習多邊形面積計算，掌握轉化思想的起始內容。

　　本節課的內容分兩個方面，一是根據長方形面積推導的方法，用數方格求平行四邊形的面積。這部分內容非常直觀，可利用多媒體教學，形象生動地數給學生看。二是運用實驗割補法把平行四邊形轉化為長方形，從而找到平行四邊形的底與轉化成的長方形的長的關系，

　　高與寬的關系，根據長方形的面積=長×寬，得到平行四邊形面積的計算公式是底×高。然后運用所學知識，解決例題及一些實際問題。學習這部分內容，對于培養學生的空間觀念，發展學生思維能力以及解決生活中實際問題的能力都有重要作用。

　　三、教學建議分析：

　　五年級學生正處在形象思維和邏輯思維過渡時期。他們有了一定空間觀念和邏輯思維能力。但對于理解圖形面積計算的公式推導和描述推導的過程還是有難度的。這就需要教師利用生動形象的教學媒介讓學生去參與、去操作、去實踐，才能讓學生通過體驗，掌握規律，形成技能。這節課中生動形象的多媒體幫助學生將這些抽象的事物轉化為易于理解、易于接受的事物，多媒體的使用在教學中起到了不可替代的作用。

　　四、教學目標：

　　(1)使學生通過探索理解和掌握平行四邊形的面積公式，會計算平行四邊形的面積。

　　(2)通過操作，觀察、比較活動，初步認識轉化的方法，培養學生的觀察、分析、概括、推導能力，發展學生的空間觀念。

　　(3)培養學生學習數學的興趣及積極參與、團結協作的精神。

　　五、教學重點：探究平行四邊形的面積計算公式，會計算平行四邊形的面積。

　　教學難點：平行四邊形面積公式的推導過程。

　　六、主要學習方法及教學策略分析：

　　1.創設情景，促興趣。

　　知識源自實際而高于實際。本著這一特點，在教學中教師盡可能創設與生活實際相接近的情境。

　　2.媒體演示，促發現

　　現代化教學手段，多媒體形象生動的畫面，音形并茂的演示，為學生架起了由具體到抽象的橋梁，使學生清楚地看到平行四邊形→長方形的轉化過程以及他們之間的關系，突出了重點，化解了難點，幫學生建立了清晰的表象。

　　3.主動參與，促發展

　　本課題的教學，充分讓學生參與學習，讓學生數方格，讓學生剪拼，讓學生自學討論，引導學生參與學習的全過程，主動地去探求知識，強化學生參與意識，促進學生主動發展，培養

　　學生積極探索、團結協作的精神。

　　4.優化練習，促掌握

　　練習設計的優化是優化教學過程的一個重要方面。本課題教學過程中，注重學練結合，既有坡度，又注意變式，從而促使學生牢固地掌握新知。

　　七、教學過程：

　　1、導入新課

　　故事引入：張三和李四是同住一個村子的好朋友，張三住在村東，李四住在村西，他們兩家各有一塊地，張三家的地在村西，是長方形的，李四家的地在村東，是平行四邊形的，由于耕種和收獲都不方便，因此他們商量要交換一下彼此的地，但由于這兩塊地形狀不同，他們都不知道這樣交換公不公平，所以很煩惱，同學們你們有什么好辦法幫他們解決這個問題嗎？（求出它們的面積）。課件出示這兩塊地。很好，但是長方形的面積我們會算，平行四邊形的面積我們還沒學，你們想知道它怎樣計算嗎？今天我們就來研究平行四邊形的面積計算。

　　[板書課題：平行四邊形的'面積]

　　［設計意圖：通過創設了交換土地的情景，引出“交換是否公平，主要看土地的面積是否一樣”，進而引出平行四邊形的面積。這樣既溝通了數學與生活的聯系，又體現了數學的應用價值。］

　　2、新課學習

　　提出問題：我們該怎樣求出平行四邊形的面積呢？你有什么好的建議嗎？

　　（1）、用數方格法求平行四邊形的面積

　　1、師：我們以前在研究長方形面積計算的時候，我們用到了數方格方法，還記得嗎?今天○

　　為了研究平行四邊形面積的計算，我們也可以用數方格的方法。請看（課件）。

　　2、數出方格圖中長方形平行四邊形的面積。 ○

　　A、師：每個方格代表1平方厘米。

　　B、指名數一數長方形的面積是多少平方厘米？（24平方厘米）如果以下面的這條邊作為平行四邊形的底，那么它的底和相應的高各是多少厘米？數一數平行四邊形的面積是多少平方厘米？（不滿一格按半格計算，每小格表示1平方厘米）

　　［設計意圖：讓學生知道所有圖形的面積都可以轉化成數方格的辦法解決，初步形成用“轉化”的方法解決問題的思想。］

　　3、把數出的數據填在書第80頁的表格內。 ○

　　（2）、觀察表格中的數據，匯報結果

　　①先豎著觀察你發現了什么？

　　生：長方形的長和平行四邊形的底相等，長方形的寬和平行四邊形的高相等，它們的面積也相等。

　　師：這說明，當這個平行四邊形的底和高分別與這個長方形的長和寬相等時，它們的面積也相等

　　②再橫著觀察你發現了什么？

　　生：長方形面積等于長乘寬，平行四邊形面積等于底乘高。板書：長方形面積=長×寬。師：通過數方格我們發現這個平行四邊形的面積等于底乘高，是不是所有平行四邊形的面積都可以用底乘高來進行計算呢?

　　［設計意圖：引導學生用數方格的方法得出上面平行四邊形的面積和長方形的面積是一樣的。通過觀察表格使學生初步感受平行四邊形的面積可以用底乘高來計算，接著又提出問題“是不是所有平行四邊形的面積都可以用底乘高來計算呢？”，以此激發學生的探究欲望。］

　　（3）、動手操作，探究新知

　　1、聯想、猜測。 ○

　　長方形的面積與它的長和寬有關系，請大家大膽猜測一下平行四邊形的面積和什么有關系，有什么關系？

　　生1：相鄰兩邊的積等于平行四邊形的面積。

　　(因為長方形的面積等于長×寬，是兩條鄰邊相乘，所以平行四邊形的面積也應該是兩鄰邊相乘。)

　　生2：底和高，底乘高等于平行四邊形的面積。

　　通過數方格我發現平行四邊形的面積等于底乘高

　　【設計意圖：通過讓學生大膽猜想，發現學生求平行四邊形面積可能會出的情況，為下面的驗證環節做鋪墊】

　　2、歸納意見，提出驗證。 ○

　　師：那么同學們的猜想對不對呢？

　　師：剛才這位同學猜想平行四邊形的面積是兩鄰邊的積，是不是這樣呢？這里有一個平行四邊形框架，請你拉一拉，發現了什么?

　　（兩鄰邊長度沒變，但面積變了，所以平行四邊形面積不等于兩鄰邊的積。）

　　師：那么第二位同學的猜想對不對呢？請大家想辦法驗證驗證

　　提示：能不能把平行四邊形轉化成長方形來計算它的面積呢?請同學們想一想，同桌交流，并動手用學具試一試。

　　1學生動手操作。 ○

　　2學生演示操作過程。 ○

　　3觀察幾種不同的轉化方法，它們有什么共同的地方？為什么沿高剪開？ ○

　　長方形有四個直角，平行四邊形只有沿高剪開，拼時才能出現直角。

　　（4）討論：拼出的長方形和原來的平行四邊形相比

　　1拼出的長方形的長和寬與原來的平行四邊形的底和高有什么關系? ○

　　2你能根據長方形面積的計算公式推導出平行四邊形面積的計算公式嗎？ ○

　　長方形的面積=長×寬

　　平行四邊形的面積=底×高

　　（5）、演示過程，強化結果。

　　師：同學們，您們注意到了嗎？大家剛才在操作中只要沿平行四邊形的什么剪開再通過平移、拼組都能把一個平行四邊形轉化成一個長方形。（平行四邊形的高）好，大家真聰明，現在請同學們再觀察一遍（多媒體演示）

　　一個平行四邊形有無數條高，沿任意一條高剪開、平移、拼都可以把一個平行四邊形轉化成一個長方形，這個長方形的面積與原來平行四邊形面積相等，這個長方形的長等于這個平行四邊形的底，這個長方形的寬等于這個平行四邊形的高，因為長方形的面積等于長乘寬，所以平行四邊形面積等于底乘高。所以第二位同學的猜想是正確的。

　　板書：平行四邊形的面積=底×高

　　師：如果用s表示平行四邊形面積，a表示它的底，h表示它的高，那么平行四邊形的面

　　篇三：平行四邊形的面積計算教學設計

　　教學內容：人教版九年義務教育小學數學第九冊第五單元第一課時《平行四邊形的面積》

　　教學目標：通過讓學生數方格和剪拼圖形的方法，根據長方形面積公式指導出平行四邊形的面積計算公式，向學生滲透轉化的數學思想和平移的方法。培養學生動手操作、推理能力和歸納總結的能力。

　　教學重難點：理解平行四邊面積計算公式的推導過程，并會應用平行四邊形的面積公式解決生活中的簡單問題。培養學生的觀察、分析、推理、歸納、表達能力。教學準備：課件、圖形卡片、剪刀、活動的長方形框架。

　　教學方法：猜想—驗證—推理—實踐—總結

　　設計理念：這節課主要是采取學生動手操作的形式展開活動的，先以魔術引入引起學生學習的興趣，然后呈現問題讓學生猜測，并通過對問題的大膽設想展開驗證，學生通過看書，用數方格的方法進行觀察對比長方形的面積與平行四邊形面積的關系，再次動手把平行四邊形剪拼成長方形，證實了自己的猜想，后得出結論。練習設計以淺入深，特別是最后的兩道拓展題有效的讓不同的學生得到了不同程度的發展。整節課充分的調動學生學習的積極性和培養了學生動手操作的能力，培養學生口頭表達能力和知識遷移類推的能力。體現了以學生為主，教師為輔的教學新理念。

　　教材分析：平行四邊形的面積是在學生已經掌握了平行四邊形的基本特征，長方形和正方形的特征與面積計算方法的基礎上學習的，它是為下一步學習三角形的、梯形、圓形的面積作鋪墊。教材的編排是在學生利用數方格的方法理解長方形與平行四邊形的關系，并通過讓學生動手剪拼來加深理解兩者之間的聯系，知道通過把平行四邊形轉化成長方形，以長方形的面積計算公式來推導平行四邊形的面積計算公式。培養學生空間思維和動手操作的能力，培養學生語言的綜合能力。

　　學生分析：五年級學生已經掌握了長方形和正方形的面積計算方法，對于把平行四邊形轉變成長方形的過程以及從長方形的面積計算方法推導出平行四邊形的面積計算方法有一定的難度，特別是在語言的歸納總結方面需要引導。五年級的學生有主見喜歡創新獨立探索，在教學過程中充分的發揮學生的特長，讓學生親身經歷，實踐、探索、觀察、發現，培養學生的合作意識。

　　教學過程：

　　一、回顧

　　1、我們以前學過哪些平面圖形？

　　2、你會計算哪些圖形的面積？

　　長方形面積=長×寬

　　正方形面積=邊長×邊長（板書）

　　[設計意圖：通過復習已經認識的平面圖形和長方形、正方形的面積計算公式，為下

　　一步推導平行四邊面積計算公式作鋪墊。]

　　二、引入

　　師：同學們喜歡看魔術嗎？今天老師要變個魔術給大家看，但有一點要求，就是要

　　看清楚老師在變魔術之前拿的是什么？后來變成了什么？這過程中什么發生變化，什么沒變過？

　　1、

　　2、

　　3、出示長方形框架，讓學生認識，然后把拉動長方形的對角變成平行四邊形。學生匯報觀察到的變化。讓學生也來變個魔術，把平行四邊形變回長方形，再次驗證之前的匯報中

　　誰發生了變化，誰一直沒變？

　　4、師：你會計算平行四邊形的面積嗎？今天我們一起來研究平行四邊形的面

　　積。板書課題——平行四邊形的面積計算

　　[設計意圖：以魔術的形式引入激發學生學習的興趣，并且讓學生親自玩這個魔術

　　體驗平行四邊形變成長方形的過程，充分加深了對這兩個圖形的觀察，更加清楚

　　的看到什么變了，什么沒有變。]

　　三、猜測

　　1、大家想想一下這個平行四邊形的面積怎樣計算。

　　2、學生可能會出現三種情況：（1）8×4 （2）4×3或6×3 （3）6×4或8×3。

　　3、你們認為他們做得對嗎？

　　[設計意圖：通過對問題的大膽設想，活躍學生的思維，培養學生敢于對問題的質疑，有利于發展學生的想像力。]

　　四、驗證

　　（一）自由看書，從書中你知道了哪些知識？

　　[設計意圖：依綱靠本，培養學生自學、獨立思考問題的習慣。]

　　（二）選擇你要研究的.一組數據，以小組合作交流的方式完成表格。

　　1、第一種情況8×4，指名說為什么這么想。（因為長方形的面積=長×寬是兩條鄰邊相乘，所以平行四邊形的面積也是兩條鄰邊相乘。

　　如圖中兩個平行四邊的兩條鄰邊都相等，它們的面積相等嗎？

　　說明什么？

　　2、第二種情況4×3或6×8，讓學生用剛才測量的數據算一算看兩數據算出來的結果是否一樣。同一個平行四邊形，如果剛才的猜想正確算出來的結果應該是相等的。

　　3、第三種情況底乘高6×4或8×3，讓學生數方格，一個小方格的邊長是1厘米，一個方格的面積是1平方厘米，不滿一格的都按半格計算。

　　根據猜想計算平行四邊形的面積是多少平方厘米

　　這個結論說明了用底乘對應的高計算是正確的。

　　[設計意圖：通過讓學生圍繞問題進行實際的驗證，培養學生做事要講證據、講道理、擺事實，才能讓人折服。并能通過這樣的活動可以調動小組內成員的積極性，通過完成表格內容培養學生回答問題的條理性。]

　　五、推導

　　師：平行四邊形面積公式是怎么得來的呢？現在大家一起動手變個魔術，使得這個平行四邊形變成一個長方形。能像剛才變魔術一樣拉嗎？應該怎么做？

　　生：可以剪了再拼。

　　活動內容：以小組為單位，把這個平行四邊形通過剪拼的方法變成一個長方形。并完成下面內容：

　　討論：1、應該沿著哪條線剪？2、剪開后怎樣拼成長方形的？

　　完成操作后討論：

　　（1）平行四邊形變成長方形后什么變了，什么沒變？

　　（2）長方形的長與平行四邊形的底有什么關系？長方形的寬與平行四邊形的高有什么關系？

　　學生有可能會出現如下剪法，如果學生是在斜邊的中點垂直剪的就對，如果不是就不能成立。

　　學生匯報實驗結果：通過剪拼的方法我們發現，剪拼成的長方形的長就是原來平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高。剪拼之后形狀變了，但面積的大小沒變。

　　[設計意圖：1、通過讓學生動手剪、拼的方法把平行四邊形轉變成一個長方形，然后進行觀察比較，培養學生的動手能力、觀察能力和表達能力；同時也建立了學生對這兩個圖形轉變的空間概念。2、通過小組合作交流，培養學生合作意識，并且通過從長方形面積計算公式推導出平行四邊形面積計算公式這一過程，培養學生的推理、歸納和概括的能力。]

　　（3）你能根據這些條件從長方形的面積計算公式推導出平行四邊形的面積公式嗎？

　　板書：長方形面積=

　　平行四邊形面積=底×高

　　S= a h

　　六、教學例子

　　1、平行四邊形花壇的底是6米，高是4米，它的面積是多少？

　　S=ah

　　6×4=24平方米

　　答：它的面積是24平方米。

　　師：要求平行四邊形的面積需要哪些條件？

　　生：底和高。

　　七、應用。