線段的垂直平分線教案
線段的垂直平分線教案
教學目標
1、經歷探索、猜測、證明的過程，進一步發展學生的推理證明意識和能力
2、能夠證明線段垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論
教學重點和難點
重點：線段的垂直平分線性質與逆定理及其的應用
難點：線段的垂直平分線的逆定理的理解和證明
教學方法觀察實踐法，分組討論法，講練結合法，自主探究法
教學手段多媒體課件
教學過程設計
一、從學生原有的認知結構提出問題
這節課，我們來研究線段的垂直平分線的尺規作圖和性質。
二、師生共同研究形成概念
1、線段垂直平分線的性質
1)猜想：我們看看上面我們所作的線段的垂直平分線有什么性質?
引導學生自主發現線段垂直平分線的性質。
2)想一想書本P24上面
應先讓學生自己思考證明的思路和方法，并嘗試寫出證明過程。
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
要證明一個圖形上每一點都具有某種性質，只需要在圖形上任取一點作代表。這一思想方法應讓學生理解。
3)符號語言
∵P在線段AB的垂直平分線CD上
∴PA=PB
4)定理解釋：
P為CD上的任意一點，只要P在CD上，總有PA=PB。
5)此定理應用于證明兩條線段相等
2鞏固練習
1)如圖，已知直線AD是線段AB的垂直平分線，則AB=。
2)如圖，AD是線段BC的垂直平分線，AB=5，BD=4，則AC=，CD=，AD=。
3)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠AED=50°，則∠B的度數為。
2、線段垂直平分線的逆定理
1)想一想書本P24想一想
教學引入
師：教材在《四邊形》這一章《引言》里有這樣一句話：把一個長方形折疊就可以得到一個正方形。現在請同學們拿出一個長方形紙條，按動畫所示進行折疊處理。
動畫演示：
場景一：正方形折疊演示
師：這就是我們得到的正方形。下面請同學們拿出三角板(刻度尺)和圓規，我們來研究正方形的幾何性質—邊、角以及對角線之間的關系。請大家測量各邊的長度、各角的大小、對角線的長度以及對角線交點到各頂點的長度。
[學生活動：各自測量。]
鼓勵學生將測量結果與鄰近同學進行比較，找出共同點。
講授新課
找一兩個學生表述其結論，表述是要注意糾正其語言的規范性。
動畫演示：
場景二：正方形的性質
師：這些性質里那些是矩形的性質?
[學生活動：尋找矩形性質。]
動畫演示：
場景三：矩形的性質
師：同樣在這些性質里尋找屬于菱形的性質。
[學生活動;尋找菱形性質。]
動畫演示：
場景四：菱形的性質
師：這說明正方形具有矩形和菱形的全部性質。
及時提出問題，引導學生進行思考。
師：根據這些性質，我們能不能給正方形下一個定義?怎么樣給正方形下一個準確的定義?
[學生活動：積極思考，有同學做躍躍欲試狀。]
師：請同學們回想矩形與菱形的定義，可以根據矩形與菱形的定義類似的給出正方形的定義。
學生應能夠向出十種左右的定義方式，其余作相應鼓勵，把以下三種板書：
“有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。”
“有一個角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。”
[學生活動：討論這三個定義正確不正確?三個定義之間有什么共同和不同的地方?這出教材中采用的是第三種定義方式。]
師：根據定義，我們把平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關系梳理一下。
困為這個命題不是“如果……那么……”的形式，所以學生說出或寫出它的逆命題時可能會有一定的困難幫助學生分析它的條件和結論，再寫出其逆命題，最后應要求學生按證明的格式將證明過程書寫出來。
2)猜想：我們說“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”，那么，到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上有什么性質?
引導學生自主發現線段垂直平分線的判定。
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
3)符號語言
∵PA=PB
∴P在線段AB的垂直平分線上
4)定理解釋
只要有PA=PB，則P為CD上的任意一點
5)此定理應用于證明一點在某條線段的垂直平分線上
2鞏固練習
1)已知點A和線段BC，且AB=AC，則點A在。
2)如果平面內的點C、D、E到線段AB的兩端點的距離相等，則C、D、E均在線段AB的。
3)設是線段AB的垂直平分線，且CA=CB，則點C一定。
3、講解例題
例1填空：
1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線。
1)則BD=;
2)若∠B=40°，則∠BAC=°，∠DAB=°，∠DAC=°，∠CDA=°;
3)若AC=4，BC=5，則DA+DC=，△ACD的周長為。
2、如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE為AB的中垂線，則∠1=°，∠C=°，∠3=°，∠2=°;若△ABC的周長為16cm，BC=4cm，則AC=，△BCE的周長為。
例2如圖，DE為△ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于E，AC=5，BC=8，求△AEC的周長。
分析：此題側重于讓學生體會解題過程，培養學生的邏輯思維。講解時借助細繩，讓學生更好地理解各線段之間的關系。
例3已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3cm，△ABD的周長是13cm，求△ABC的周長。
分析：此題與上例類似，在證明時，要多一步，要說明AC的長度。講解時借助細繩，讓學生更好地理解各線段之間的關系。
三、隨堂練習
1、書本P26隨堂練習1
2、《練習冊》P6
3、如圖，已知AB=AC=14cm，AB的垂直平分線交AC于D。
1)若△DBC的周長為24cm，則BC=cm;
2)若BC=8cm，則△BCD的周長是cm。
4、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于D，△ABC和△DBC的周長分別是60cm和38cm，求AB、BC。
5、如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，AE=2cm，求△CDB的周長。
四、小結
線段的垂直平分線在計算、證明、作圖中都有著重要作用。在前面學習中，有一些用三角形全等的知識來解決問題，現在可用線段垂直平分線的定理及其逆定理來解會更方便些。
五、作業
書本P27習題1.63
六、教學后記
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教學環節教學程序教學設想
一、創設情景，引入課題有一塊平行四邊形的玻璃塊，假如不小心碰碎了一部分，聰明的技師拿著細繩很快將原來的平行四邊形畫了出來，你知道他用的是什么方法嗎?
第一階段感知階段
材料是：給出生活實例
教法是：觀察討論
理由是：創設數學問題情景，產生認知沖突，快速吸引學生注意，立刻置學生于情景中問題里。
目的是：(1)讓學生從真實的生活中發現數學;(2)激發學習興趣，引導學生樹立科學的人生觀和價值觀。
二、引發思考、提出議題(此環節可分為四步)
第一步“憶”——憶平行四邊形的性質：
(1)從邊看：兩組對邊分別平行
兩組對邊分別相等
(2)從角看：兩組對角分別相等
四組鄰角互補
(3)從對角線看：對角線互相平分
第二步“說”——說平行四邊形性質的逆命題
(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)兩組對角分別相等的四邊形是平形四邊形
(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
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