列分式方程解應(yīng)用題教案

列分式方程解應(yīng)用題教案

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1。使學(xué)生能分析題目中的等量關(guān)系，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；

　　2。通過列分式方程解應(yīng)用題，滲透方程的思想方法。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：列分式方程解應(yīng)用題。

　　難點(diǎn)：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程。

　　教學(xué)過程設(shè)計

　　一、復(fù)習(xí)

　　例 解方程：

　　（1）2x+xx+3=1； （2）15x=2×15 x+12；

　　（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。

　　解 （1）方程兩邊都乘以x（3+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6

　　所以 x=6。

　　檢驗：當(dāng)x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　（2）方程兩邊都乘以x（x+12），約去分母，得

　　15（x+12）=30x。

　　解這個整式方程，得

　　x=12。

　　檢驗：當(dāng)x=12時，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。

　　（3）整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，

　　即 2x+xx+3=1。

　　方程兩邊都乘以x（x+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x（x+3），

　　即 2x+6+x2=x2+3x，

　　亦即 2x－3x=－6。

　　解這個整式方程，得 x=6。

　　檢驗：當(dāng)x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　二、新課

　　例1 一隊學(xué)生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊伍。若騎車的速度是隊伍進(jìn)行速度的2倍，這名學(xué)生追上隊伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間？

　　請同學(xué)根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系。

　　答：騎車行進(jìn)路程=隊伍行進(jìn)路程=15（千米）；

　　騎車的速度=步行速度的2倍；

　　騎車所用的時間=步行的時間－0。5小時。

　　請同學(xué)依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程。

　　答案：

　　方法1 設(shè)這名學(xué)生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為

　　15x=2×15 x+12。

　　方法2 設(shè)步行速度為x千米／時，騎車速度為2x千米／時，依題意列方程為

　　15x－15 2x=12。

　　解 由方法1所列出的方程，已在復(fù)習(xí)中解出，下面解由方法2所列出的方程。

　　方程兩邊都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15。

　　檢驗：當(dāng)x=15時，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意。

　　所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米／時=12小時。

　　答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘。

　　指出：在例1中我們運(yùn)用了兩個關(guān)系式，即時間=距離速度，速度=距離 時間。

　　如果設(shè)速度為未知量，那么按時間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時間為未知量，那么按

　　速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方程都是分式方程。

　　例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成。現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？

　　分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設(shè)為s，工作所用時間設(shè)為t，工作效率設(shè)為m，三個量之間的關(guān)系是

　　s=mt，或t=sm，或m=st。

　　請同學(xué)根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程。

　　答案：

　　方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)就是（x+3）天，設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3。依題意，列方程為

　　2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。

　　指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量。

　　方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據(jù)題意列方程

　　2x+xx+3=1。

　　方法3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3。

　　用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了。重點(diǎn)是找等量關(guān)系列方程。

　　三、課堂練習(xí)

　　1。甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù)。

　　2。A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度。

　　答案：

　　1。甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件。

　　2。大，小汽車的速度分別為18千米／時和45千米／時。

　　四、小結(jié)

　　1。列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點(diǎn)是，解分式方程必須要驗根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意。原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去。

　　2。列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)直接未知數(shù)。但有時可根據(jù)題目特點(diǎn)不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù)。在列分式方程解應(yīng)用題時，設(shè)間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷。例如在課堂練習(xí)中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達(dá)B地各用的時間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需（x+5－12）小時，依題意，列方程

　　135 x+5－12：135x=2：5。

　　解這個分式方程，運(yùn)算較繁瑣。如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運(yùn)算就簡便多了。

　　五、作業(yè)

　　1 填空：

　　（1）一件工作甲單獨(dú)做要m小時完成，乙單獨(dú)做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是______小時；

　　（2）某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數(shù)是______；

　　（3）把a(bǔ)千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克。

　　2 列方程解應(yīng)用題。

　　（1）某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當(dāng)?shù)诙�次加工時，他革新了工具，改進(jìn)了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個小時。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件？

　　（2）某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40千米用多少小時？

　　（3）已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米？

　　（4）A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度。

　　答案：

　　1 （1）mn m+n； （2）m a－b－ma； （3）ma a+b。

　　2 （1）第二次加工時，每小時加工125個零件。

　　（2）步行40千米所用的時間為40 4=10（時）。答步行40千米用了10小時。

　　（3）江水的流速為4千米／時。

　　課堂教學(xué)設(shè)計說明

　　1。教學(xué)設(shè)計中，對于例

　　1，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，找到三個等量關(guān)系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例

　　2，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，用三種不同的方法列出方程。這種安排，意在啟發(fā)學(xué)生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學(xué)生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習(xí)慣。這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間。

　　2。教學(xué)設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用。

　　例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度（或時間）；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間（或工作效率）。這些都是運(yùn)用列分式方程求解的典型問題。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系，以及列方程求解的思路，以促使學(xué)生加深對模式的主要特征的理解和識另？別，讓學(xué)生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。學(xué)生完成課堂練習(xí)和作業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路。

　　3。通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學(xué)，滲透了方程的思想方法，從中使學(xué)生認(rèn)識到方程的思想方法是數(shù)學(xué)中解決問題的一個銳利武器。方程的思想方法可以用“以假當(dāng)真”和“弄假成真”兩句話形容。如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法，假設(shè)所求的量為x，這時就把它作為一個實(shí)實(shí)在在的量。通過找等量關(guān)系列方程，此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待，這就是“以假當(dāng)真”。通過解方程求得問題的解，原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”。

　　列分式方程解應(yīng)用題

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1。使學(xué)生能分析題目中的等量關(guān)系，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；

　　2。通過列分式方程解應(yīng)用題，滲透方程的思想方法。

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：列分式方程解應(yīng)用題。

　　難點(diǎn)：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程。

　　教學(xué)過程設(shè)計

　　一、復(fù)習(xí)

　　例 解方程：

　　（1）2x+xx+3=1； （2）15x=2×15 x+12；

　　（3）2（1x+1x+3）+x－2x+3=1。

　　解 （1）方程兩邊都乘以x（3+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x2+3x，即2x－3x=－6

　　所以 x=6。

　　檢驗：當(dāng)x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　（2）方程兩邊都乘以x（x+12），約去分母，得

　　15（x+12）=30x。

　　解這個整式方程，得

　　x=12。

　　檢驗：當(dāng)x=12時，x（x+12）=12（12+12）≠0，所以x=12是原分式方程的根。

　　（3）整理，得

　　2x+2x+3+x－2x+3=1，即2x+2+x－2 x+3=1，

　　即 2x+xx+3=1。

　　方程兩邊都乘以x（x+3），去分母，得

　　2（x+3）+x2=x（x+3），

　　即 2x+6+x2=x2+3x，

　　亦即 2x－3x=－6。

　　解這個整式方程，得 x=6。

　　檢驗：當(dāng)x=6時，x（x+3）=6（6+3）≠0，所以x=6是原分式方程的根。

　　二、新課

　　例1 一隊學(xué)生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊伍。若騎車的速度是隊伍進(jìn)行速度的2倍，這名學(xué)生追上隊伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間？

　　請同學(xué)根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系。

　　答：騎車行進(jìn)路程=隊伍行進(jìn)路程=15（千米）；

　　騎車的速度=步行速度的2倍；

　　騎車所用的時間=步行的時間－0。5小時。

　　請同學(xué)依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程。

　　答案：

　　方法1 設(shè)這名學(xué)生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為

　　15x=2×15 x+12。

　　方法2 設(shè)步行速度為x千米／時，騎車速度為2x千米／時，依題意列方程為

　　15x－15 2x=12。

　　解 由方法1所列出的方程，已在復(fù)習(xí)中解出，下面解由方法2所列出的方程。

　　方程兩邊都乘以2x，去分母，得

　　30－15=x，

　　所以 x=15。

　　檢驗：當(dāng)x=15時，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意。

　　所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米／時=12小時。

　　答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘。

　　指出：在例1中我們運(yùn)用了兩個關(guān)系式，即時間=距離速度，速度=距離 時間。

　　如果設(shè)速度為未知量，那么按時間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時間為未知量，那么按

　　速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方程都是分式方程。

　　例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成。現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？

　　分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設(shè)為s，工作所用時間設(shè)為t，工作效率設(shè)為m，三個量之間的關(guān)系是

　　s=mt，或t=sm，或m=st。

　　請同學(xué)根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程。

　　答案：

　　方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)就是（x+3）天，設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3。依題意，列方程為

　　2（1x+1x3）+x2－xx+3=1。

　　指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量。

　　方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據(jù)題意列方程

　　2x+xx+3=1。

　　方法3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則可列方程

　　1－2x=2x+3+x－2x+3。

　　用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了。重點(diǎn)是找等量關(guān)系列方程。

　　三、課堂練習(xí)

　　1。甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù)。

　　2。A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度。

　　答案：

　　1。甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件。

　　2。大，小汽車的速度分別為18千米／時和45千米／時。

　　四、小結(jié)

　　1。列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點(diǎn)是，解分式方程必須要驗根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意。原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去。

　　2。列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)直接未知數(shù)。但有時可根據(jù)題目特點(diǎn)不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù)。在列分式方程解應(yīng)用題時，設(shè)間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷。例如在課堂練習(xí)中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達(dá)B地各用的時間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需（x+5－12）小時，依題意，列方程

　　135 x+5－12：135x=2：5。

　　解這個分式方程，運(yùn)算較繁瑣。如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運(yùn)算就簡便多了。

　　五、作業(yè)

　　1。填空：

　　（1）一件工作甲單獨(dú)做要m小時完成，乙單獨(dú)做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是______小時；

　　（2）某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數(shù)是______；

　　（3）把a(bǔ)千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克。

　　2。列方程解應(yīng)用題。

　　（1）某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當(dāng)?shù)诙�次加工時，他革新了工具，改進(jìn)了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個小時。已知他第二次加工效率是第一次的2。5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件？

　　（2）某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40千米用多少小時？

　　（3）已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米？

　　（4）A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度。

　　答案：

　　1。（1）mn m+n； （2）m a－b－ma； （3）ma a+b。

　　2。（1）第二次加工時，每小時加工125個零件。

　　（2）步行40千米所用的時間為40 4=10（時）。答步行40千米用了10小時。

　　（3）江水的流速為4千米／時。

　　課堂教學(xué)設(shè)計說明

　　1 教學(xué)設(shè)計中，對于例1，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，找到三個等量關(guān)系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例2，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，用三種不同的方法列出方程。這種安排，意在啟發(fā)學(xué)生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學(xué)生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習(xí)慣。這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間。

　　2 教學(xué)設(shè)計中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用。例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度（或時間）；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間（或工作效率）。這些都是運(yùn)用列分式方程求解的典型問題。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系，以及列方程求解的思路，以促使學(xué)生加深對模式的主要特征的理解和識另？別，讓學(xué)生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。學(xué)生完成課堂練習(xí)和作業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路。

　　3 通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學(xué)，滲透了方程的思想方法，從中使學(xué)生認(rèn)識到方程的思想方法是數(shù)學(xué)中解決問題的一個銳利武器。方程的思想方法可以用“以假當(dāng)真”和“弄假成真”兩句話形容。如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法，假設(shè)所求的量為x，這時就把它作為一個實(shí)實(shí)在在的量。通過找等量關(guān)系列方程，此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待，這就是“以假當(dāng)真”。通過解方程求得問題的解，原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”。

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