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四邊形內角和定理的證明

時間:2024-04-26 16:44:54

四邊形內角和定理的證明

四邊形內角和定理的證明

四邊形內角和定理的證明

  在一次《多邊形的內角和》的課堂上,有一個教學環節是這樣設計的:讓學生思考任意一個四邊形的內角和是多少?用這種方法能否求五邊形、六邊形等多邊形的內角和?[1]而在課堂上,同學們給出了許多種求四邊形內角和的方法,雖然有的方法不太適合推廣到五邊形、六邊形,但其中不乏有課前我沒有意料到的方法,當然我也沒想到學生們會有如此多的方法。為了不打斷學生的想法,給學生一個展示自我的機會,更為了拓展學生的思維,我抓住了這一難得的機會,充分讓學生展示他們活躍的思維,而把預先準備的一些內容放到了下一節課。我不知道這樣做好不好,但至少有一點,學生們主動地進行了觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動,這是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程,增強了學生學習數學的興趣,使不同的人在數學上得到了不同的發展[2]。下面就一一列舉學生們的解法,其中解法一~解法五是預先設計的。

  解法一:如圖1,連接AC,四邊形ABCD的內角和等于兩個三角形內角和的和,即180°×2=360°。

  解法二:如圖2,連接AC、BD,四邊形ABCD的內角和等于四個三角形內角和的和減去360°,即180°×4-360°=360°。

  解法三:如圖3,在四邊形ABCD內取一點P,連接PA、PB、PC、PD,四邊形ABCD的內角和等于四個三角形內角和的和減去360°,即180°×4-360°=360°。

  解法四:如圖4,在BC邊上取一點P,連接PA、PD,四邊形ABCD的內角和等于三個三角形內角和的和減去180°,即180°×3-180°=360°。

  解法五:如圖5,在四邊形ABCD外取一點P,連接PA、PB、PC、PD,四邊形ABCD的內角和等于三個三角形內角和的和減去180°,即180°×3-180°=360°。

  解法六:如圖6,連接BD,延長BA至E,延長BC至F,∵∠EAD=∠ABD+∠BDA,∠FCD=∠CBD+∠BDC,∴四邊形ABCD的內角和等于(∠EAD+∠BAD)+(∠FCD+∠BCD)=180°+180°=360°。

  解法七:如圖7,過點A、D分別作BC的平行線AE、DF,則∠EAB=∠B,∠EAD=∠ADF,∠CDF=∠C,∴四邊形ABCD的內角和等于∠BAD+∠EAB+(∠CDF+∠CDA)=∠BAD+∠EAB+∠ADF =∠BAD+∠EAB+∠EAD =360°。

  解法八:如圖8,過點A、D分別作BC的垂線AE、DF,垂足分別為E、F,過點A作DF的垂線AG,垂足為G,則∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°,∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠DFB=∠C+∠CDF,∠AGF=∠DAG+∠ADF,∴四邊形ABCD的內角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠EAG=90°×4=360°。

  解法九:若AB//CD,則∠B+∠C=∠A+∠D=180°,∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°;若AB不平行于CD,如圖9,不妨設BA、CD的延長線相交于點E,∵∠BAD=∠E+∠ADE,∠ADC=∠E+∠EAD,∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=(∠B+∠C+∠E)+(∠ADE +∠E+∠EAD)=180°+180°=360°。綜上可得,四邊形ABCD的內角和等于360°

  解法十:連接AC,并延長至G,過點C分別作AD、AB的平行線CE、CF,則∠D=∠DCE,∠DAC=∠ECG,∠BAC=∠FCG,∠B=∠FCB,∴四邊形ABCD的內角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠BCD =∠FCB+∠FCG +∠ECG +∠DCE +∠BCD =360°。

  以上這些證法中,充分發揮了學生的想象力、綜合運用知識的能力,很好地訓練了學生的思維,體現了“轉化”這一重要數學思想方法地靈活運用,這一點對學生的發展很重要,而這也是新課程標準所倡導的。這堂課可能是一節不合格的課,但我還是希望我們數學老師能在課堂上不斷探索、試驗,大膽創新,只要我們本著新課程的理念,本著以學生的發展為本,相信中國數學教育的未來一定會取得輝煌的成績。

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