冪的乘方與積的乘方教案設(shè)計(jì)

時(shí)間：2024-09-29 22:07:51

冪的乘方與積的乘方教案設(shè)計(jì)

冪的乘方與積的乘方教案設(shè)計(jì)

　　●教學(xué)目標(biāo)

　　(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

　　1.經(jīng)歷探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)冪的意義.

　　2.了解冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問題.

　　(二)能力訓(xùn)練要求

　　1.在探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.

　　2.學(xué)習(xí)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，提高解決問題的能力.

　　(三)情感與價(jià)值觀要求

　　在發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時(shí)，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

　　●教學(xué)重點(diǎn)

　　冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用.

　　●教學(xué)難點(diǎn)

　　冪的運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

　　●教學(xué)方法

　　引導(dǎo)——探究相結(jié)合

　　教師由實(shí)際情景引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)绲某朔降倪\(yùn)算性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.

　　●教具準(zhǔn)備

　　小黑板

　　●教學(xué)過程

　　Ⅰ.提出問題，引入新課

　　［師］我們先來看一個(gè)問題：

　　一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)是102毫米，你能計(jì)算出它的體積嗎？如果將這個(gè)正方體的邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的10倍，則這個(gè)正方體的體積是原來的多少倍？

　　［生］正方體的體積等于邊長(zhǎng)的立方.所以邊長(zhǎng)為102毫米的正方體的體積V=(102)3立方毫米；如果邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的10倍，即邊長(zhǎng)變?yōu)?02×10毫米即103毫米，此時(shí)正方體的體積變?yōu)閂1=(103)3立方毫米.

　　［師］(102)3，(103)3很顯然不是最簡(jiǎn)，你能利用冪的意義，得出最后的結(jié)果嗎？大家可以獨(dú)立思考.

　　［生］可以.根據(jù)冪的意義可知(102)3表示三個(gè)102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同樣根據(jù)冪的意義可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我們就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米.

　　我們還可以計(jì)算出當(dāng)這個(gè)正方形邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來的10倍時(shí)，體積就變?yōu)樵瓉淼?000倍即103倍.

　　［生］也就是說體積擴(kuò)大的倍數(shù)，遠(yuǎn)大于邊長(zhǎng)擴(kuò)大的倍數(shù).

　　［師］是的！我們?cè)賮砜?102)3，(103)3這樣的運(yùn)算.102，103是冪的形式，因此我們把這樣的運(yùn)算叫做冪的乘方.這節(jié)課我們就來研究?jī)绲牡诙䝼€(gè)運(yùn)算性質(zhì)——冪的乘方.

　　Ⅱ.探索冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)

　　做一做：計(jì)算下列各式并說明理由.

　　(1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.

　　［師］我們觀察不難發(fā)現(xiàn)，上面的4個(gè)小題都是冪的乘方的運(yùn)算，下面就請(qǐng)同學(xué)們利用冪的意義和我們學(xué)習(xí)過的內(nèi)容解答它們.

　　［生］(1)(62)4 62?62?62?62 62+2+2+2=68.

　　［師］第①步和第②步推出的理由是什么呢？

　　［生］第①步的理由是利用了冪的意義.(62)4表示4個(gè)62相乘；第②步的理由是利用了我們剛學(xué)過的同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加.

　　［師］觀察上面的運(yùn)算過程，底數(shù)和指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化？

　　［生］結(jié)果的指數(shù)8=2×4，剛好是原式子中兩個(gè)指數(shù)的積，而運(yùn)算前后的底數(shù)沒變，還是6.

　　［師］接下來的(2)、(3)、(4)小題是不是可以同樣地利用冪的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)來推出結(jié)果呢？

　　［生］可以！

　　［師］下面我們就請(qǐng)三位同學(xué)到黑板上推出，其余的同學(xué)觀察他們做的有無錯(cuò)誤.

　　［生］(2)(a2)3=a2?a2?a2=a2+2+2=a6=a2×3;

　　(3)(am)2=am?am=am+m=a2m;

　　(4)(am)n=

　　= =amn.

　　［師生共析］由上面的“做一做”我們就推出了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，即

　　(am)n=amn(m,n都是正整數(shù))

　　用語(yǔ)言表述即為：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

　　在冪的乘方的運(yùn)算中，指數(shù)的運(yùn)算也降了一級(jí).

　　Ⅲ.例題

　　出示投影片(§1.4.1 B)

　　［例1］計(jì)算：

　　(1)(102)3；(2)(b5)5;(3)(an)3;

　　(4)－(x2)m;(5)(y2)3?y;(6)2(a2)6－(a3)4.

　　［例2］如果甲球的半徑是乙球的n倍，那么甲球的體積是乙球的n3倍.

　　地球、木星、太陽(yáng)可以近似地看做是球體.木星、太陽(yáng)的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？

　　［師］我們首先看例1的(1)、(2)、(3)題，可以發(fā)現(xiàn)它們都是冪的乘方的運(yùn)算.我們開始練習(xí)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，不要著急直接套入公式(am)n=amn中，而應(yīng)進(jìn)一步體會(huì)乘方的意義和冪的意義.我們只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)回答.

　　［生］(1)(102)3=102?102?102=102+2+2=102×3=106；

　　(2)(b5)5=b5?b5?b5?b5?b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25;

　　(3)(an)3=an?an?an=an+n+n=a3n.

　　［師］很好！下面我們?cè)賮碓囎隼?中(4)、(5)、(6)題.

　　［生］(4)－(x2)m表示(x2)m的相反數(shù)，所以－(x2)m=－ =－ =－x2m;

　　(5)(y2)3?y中既含有乘方運(yùn)算，也含有乘法運(yùn)算，按運(yùn)算順序，應(yīng)先乘方，再做乘法，所以，(y2)3?y=(y2?y2?y2)?y=y2×3?y=y6?y=y6+1=y7;

　　(6)2(a2)6－(a3)4按運(yùn)算順序應(yīng)先算乘方，最后再化簡(jiǎn).所以

　　2(a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12.

　　［師］接下來，我們?cè)賮砜磧绲某朔皆趯?shí)際中的應(yīng)用——例2.

　　［生］根據(jù)例2中的前提條件，可得

　　木星的體積是地球體積的103倍；太陽(yáng)的體積是地球體積的(102)3倍即106倍.

　　［師］很好！我們觀察例2圖中的木星、太陽(yáng)、地球的體積不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖直觀地表現(xiàn)了體積擴(kuò)大的倍數(shù)與半徑擴(kuò)大的倍數(shù)之間的關(guān)系.比較木星、太陽(yáng)、地球三個(gè)球體的大小，可知體積擴(kuò)大的倍數(shù)比半徑擴(kuò)大的倍數(shù)大得多.

　　Ⅳ.練一練

　　1.計(jì)算：

　　(1)(103)3；(2)－(a2)5;(3)(x3)4?x2;

　　(4)［(－x)2］3;(5)(－a)2(a2)2;

　　(6)x?x4－x2?x3.

　　2.判斷下面計(jì)算是否正確？如有錯(cuò)誤請(qǐng)改正：

　　(1)(x3)3=x6;(2)a6?a4=a24.

　　［師］我們首先來回顧一下(am)n=amn(m、n都是正整數(shù))是怎樣推出來的.

　　［生］(am)n表示n個(gè)am相乘，根據(jù)乘方的意義(am)n= ，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)，可由 = =amn.

　　［師］我們能夠很好地體會(huì)和理解了冪的意義和同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)，接下來我們就來完成“練一練”.

　　［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109；

　　(2)－(a2)5=－a2×5=－a10;

　　(3)(x3)4?x2=x3×4?x2=x12?x2=x12+2=x14;

　　(4)［(－x)2］3=(－x)2×3=(－x)6=x6;

　　(5)(－a)2?(a2)2=a2?a2×2=a2?a4=a2+4=a6;

　　(6)x?x4－x2?x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0.

　　［師］2.(1)(x3)3=x6不正確，因?yàn)?x3)3表示三個(gè)x3相乘即x3?x3?x3=x3+3+3=x3×3=x9.或直接根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，得(x3)3=x3×3=x9.

　　(2)a6?a4=a24不正確.因?yàn)閍6?a4=(a?a?a?a?a?a)(a?a?a?a)= =a10或根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相加，得a6?a4=a6+4=a10.

　　［師］我們學(xué)習(xí)了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)很容易與同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)混淆.通過練習(xí)的第2題，同學(xué)們可反思一下做題的過程，注意冪的意義和乘方的意義，真正地去理解這兩個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)，而不是去單純的記憶.

　　Ⅴ.課時(shí)小結(jié)

　　我們這節(jié)課通過乘方的意義和冪的意義推出了冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并通過實(shí)際問題體會(huì)到了學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)的必要性，從而提高了我們的推理能力，有條理的語(yǔ)言表達(dá)能力和解決實(shí)際問題的能力.

　　Ⅵ.課后作業(yè)

　　1.課本P16，習(xí)題1.5的第1、2、3題.

　　2.反思做題過程，自己對(duì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤加以改正，并寫入成長(zhǎng)記錄中.

　　關(guān)于它的證明在以后學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法后一目了然.

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